Chúng ta sẽ minh họa việc sử dụng PPPTHH từ hai ví dụ mà phương pháp chung có thể là ngoại suy. Chúng ta xem như người đọc đã quen thuộc với tính toán và đại số tuyến tính. Chúng ta sẽ sử dụng bài toán một chiều, tại đây, hàm f được xác định bởi u và u một hàm ẩn của x, u’’ là đạo hàm cấp 2 của u theo x

P1  : { u ″ = f  in  ( 0 , 1 ) , u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0 , {\displaystyle {\mbox{P1 }}:{\begin{cases}u''=f{\mbox{ in }}(0,1),\\u(0)=u(1)=0,\end{cases}}}

Ví dụ cho bài toán hai chiều là bài toán Dirichlet

P2  : { u x x + u y y = f  in  Ω , u = 0  on  ∂ Ω , {\displaystyle {\mbox{P2 }}:{\begin{cases}u_{xx}+u_{yy}=f&{\mbox{ in }}\Omega ,\\u=0&{\mbox{ on }}\partial \Omega ,\end{cases}}}

Ở đây, miền Ω là một miền đơn liên mở trong mặt phẳng (x,y), có biên ∂Ω rất "đẹp" (ví dụ: một đa tạp trơn hoặc một đa giác), u x x {\displaystyle u_{xx}} và u y y {\displaystyle u_{yy}} là đạo hàm riêng cấp hai theo biến x và y.

Ở ví dụ P1, có thể giải trực tiếp bằng cách lấy nguyên hàm. Tuy nhiên, phương pháp này chỉ thực hiện được trong không gian một chiều và không thể giải được trong trường hợp không gian có hơn hai chiều hoặc trong bài toán u + u’’ = f. Chính vì lý do này mà chúng ta sẽ phát triển phát triển PPPTHH cho trường hợp P1 và phác họa tổng quát của PPPTHH cho trường hợp P2.

Lời giải sẽ bao gồm hai bước, nó phản ánh hai bước chủ yếu phải thực hiện để giải một bài toán biên bằng PPPTHH. Ở bước đầu tiên, chúng ta sẽ biểu diễn lại bài toán biên trong dạng gần đúng của nó hoặc dạng biến phân. Rất it hoặc không có máy tính được dùng để thực hiện bước này, việc này được làm bằng tay ở trên giấy. Bước thứ hai là rời rạc hóa, dạng gần đúng được rời rạc trong một không gian hữu hạn chiều. Sau bước thứ hai này, chúng ta sẽ có biểu thức cụ thể cho toàn bộ bài toán nhưng lời giải của bài toán trong không gian hữu hạn chiều tuyến tính chỉ là lời giải gần đúng của bài toán biên. Bài toán trong không gian hữu hạn chiều này sau đó được giải bằng máy tính.